[摘要]：本文从莱布尼茨与荷兰阿姆斯特丹市长尼古拉•威特森（Nicolaes Witsen，1641-1717）和法国流亡学者塞扎尔•卡兹（Cesar Caze，1641-1720）的一段有关二进制与伏羲八卦图的通信中，了解到十七世纪人们对三进制的认识。卡兹把伏羲六十四卦图用三种符号，阴（--）、阳（─）和一个特别符号（┼）表示，形成729卦象。西汉末年杨雄(公元前53年-公元18年)曾拟易作玄，一玄、三方、九州、二十七部、八十一家、七百二十九贊。本文将对人们进一步了解莱布尼茨的二进制做一点补充。

[关键词]：莱布尼茨、Nicolaes Witsen、Cesar Caze、扬雄、二进制、三进制。

中图分类号：G122 文献标识码：A 文章编号： 发表日期：

一、引 言

自从《莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考》一书出版以来，做了一个补记，谈莱布尼茨二进制与中国珠算。珠算可以说比先天图对于莱布尼茨发明二进制的影响更加直接和有效，因为先天图偏向为形而上学。形而上者谓之道，形而下者谓之器。珠算则为器，具有二进制算术，五进制算术和十进制算术的四则运算规则。关于珠算莱布尼茨不仅仅是在斯比塞尔的《中国文史评析》一书中所见，还与荷兰阿姆斯特丹的塞扎尔•卡兹先生有所交流。

在对莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考证中还收集到十七世纪欧洲相关学者讨论二进制时涉足三进制的文献。由于当时时间有限对这些文献只在《莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考》一书做了附录，影印一些原本。

本文为《莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考》补记之二，介绍塞扎尔•卡兹先生于1704年邮寄给莱布尼茨信函中的伏羲三值演化图。

二、莱布尼茨与尼古拉•威特森和塞扎尔•卡兹

莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)收到北京耶稣会传教白晋(J.Bouvet,1656-1730)回函，见到伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图后，除撰写了“二进位算术的阐述--关于只用0与1兼论其用处及伏羲是所用数字的意义”(Explication de l'arithm鑤ique binaire, qui se sert des seuls caracteres 0 et 1, avec des remarques sur son utilit?et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures Chinois de FOHY)一文外，莱布尼茨还与欧洲一些学者进行交流。这里主要介绍莱布尼茨与尼古拉•威特森（Nicolaes Witsen，1641-1717）和塞扎尔•卡兹（Cesar Caze，1641-1720）的通信交流。

据汉斯(Hans.J.Zacher)在《莱布尼茨关于二值主要手稿》(DIE HAUPTSCHRIFTEN ZUR DYADIK VON G.W.LEIBNIZ)一书中收集的莱布尼茨与威特森和卡兹的通信。

尼古拉•威特森(Nicolaes Witsen)先生是荷兰阿姆斯特丹的市长，生于1641年。一代欧洲名流，曾任荷兰外交官，地理测绘学家，作家，造船工程权威。1682年至1706年任阿姆斯特丹市长，1693年任荷兰东印度公司总裁和驻英国全权特使。1687年出版西伯利亚（Siberie）地图和东北鞑靼(Noord en Oost Tartaryen)等涉及中国地理学研究。1716年去世。[1]

塞扎尔•卡兹(Cesar Caze)先生是法国学者，1641年生于法国里昂（Lyon），信仰胡格诺派（Huguenots）[2]，该教是16～17世纪法国新教徒形成的一个派别，曾于1562-1598年间与天主教派为争取信仰自由而多次发生战争，一时获南特敕令，享有公民的一切权利。路易十四於1685年颁布法令，废止特敕令，大规模迫害新教徒，使20多万人逃亡国外。卡兹先生在此期间由法国哈蒙维尔（Harmonville）逃亡荷兰海牙，第二年获荷兰阿姆斯特丹公民权，在Van Eeghen书局从事编辑工作。卡兹也是荷兰数学家许德（Johannes Hudde 1628-1704）[注1]的门生，从事数学研究，大约在1699年对二值做过详细研究。1711年获计算发明专利，发表关于使用和改进计算的专著[3]。1720年於阿姆斯特丹去世。

莱布尼茨与尼古拉•威特森和塞扎尔•卡兹的通信书中共收集7封。这7封信是：

1/16. Leibniz an Nicolaes Witsen, Hannover,2.Marz 1704
2/17. Cesar Caze fur Leibniz, (?) Mai 1704
3/18. Nicolaes Witsen an Leibniz, Amsterdam,6.Juni 1704
4/19. Leibniz fur Cesar Caze, 30.Januar 1698
5/20. Cesar Caze fur Leibniz,Juli/Oktober 1704
6/32. Cesar Caze fur Leibniz, Amsterdam,14.Oktober 1704
7/42. Leibniz fur Cesar Caze, Hannover,23.Juni 1705

[第一封信1/16] ：莱布尼茨与威特森先生主要谈，他收到法国耶稣会来华传教士白晋於1701年11月4日信函[注2]，二进制得到伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图验证，用0与阴相对，1与阳相对。信中还提到德国数学家基歇尔(Kircher Athanasius，1601－1680)和比利时耶稣会来华传教士柏应理(Philippe Couplet,1623-1693),并附有二进制与十进制换算图表。

[第三封信3/18] ：威特森先生收到莱布尼茨信后於6月6日回函，在信中告知数学家许德（Hudde）不幸去世，关于二进制的讨论已委托塞扎尔•卡兹先生。信中Case即为Caze。

其余五封信均由莱布尼茨与卡兹的通信，讨论二进制与伏羲八卦图。在卡兹於5月致函莱布尼茨中提到中国算盘（Tablette a compter），可能中国算盘对二进制比与八卦图更有启示。在[第五封信5/20]中，卡兹比较广泛地对莱布尼茨二进算术的评述。首先对二进算术的历史做了综述，他对二进算术的关注是在1699年，一位名叫Tarragon教授於1689在《Journal des scavans》学术期刊上发表了“乘除新法”（Nouvelles methodes de multiplier et de diviser）[注4]。评述的第二部分提出二进算术与伏羲八卦图类同，出示卫匡国(Martin Martinius, 1614-1661)发表的伏羲64卦图及注释。卡兹还用中国算盘对伏羲64卦做了些解释，同时列举中国每档7珠算盘与俄罗斯每档10珠算盘[注4]做了对比。评述的第四部分提出三值图表组合方法及过程。

三、塞扎尔•卡兹先生的三进制图表

在莱布尼茨与卡兹先生的讨论二进制中，可以说内容比较广泛，具有一定的知识深度。在《莱布尼茨关于二值主要手稿》一书第6章和第7章有关莱布尼茨与欧洲学者讨论中卡兹均列为首位。特别引起人们关注的是三进制图表。

在这张手绘三值图表原稿中卡兹先生使用三种符号，阴（--）、阳（─）和一个特别符号（┼）组成三值图表。共计729卦象。

（三值图表手稿现存汉若威国家图书馆，编号：LH XXXV 3B,7 B1.9r）

卡兹先生对图表做了详细的解释，如果把首卦(坤)设为1，那么图表的横向和纵向是从1至27。如果把首卦(坤)设为0，那么图表的横向和纵向是从0至26。同时也做了卦象进位换算，三值与十值换算方法。具体如下：

第三爻 0 -- 9 ─ 18 ┼
第二爻 0 -- 3 ─ 6 ┼
第一爻 0 -- 1 ─ 2 ┼

如 20 和 11 即为：

┼ 18 ─ 9
-- 0 -- 0
─ 1 ─ 1
19 + 1 = 20 10 + 1 = 11

由此可见，卡兹先生对易数有所了解，伏羲卦图可由二值演化成三值。易曰：“昔者圣人之作易也，幽赞於神明而生蓍，参天两地而倚数，观变於阴阳而立卦，发挥於刚柔而生爻”。所谓“参天两地而倚数”，即是说易之耆数由“参天两地”而来。邵雍对此认为“易有真数，三而已；参天者三三而九，两地者倍三而六。参天两地而倚数，非天地之正数也。倚者拟也，拟天地正数而生也”[4]。

四、杨雄的《太玄经》

中国西汉末年的杨雄(公元前53年～公元18年) 拟易作《太玄经》。“驯乎玄，浑行无穷正象天。阴阳比叁，以一阳乘一统，万物资形。方州部家，三位疏成。曰：陈其九九，以为数生，赞上群纲，乃综乎名，八十一首，岁事咸贞”。[5]

在《太玄经》中通篇讲的是“阴阳比叁”，在阴(--)、阳(─)符号的基础上增加了一个（┄）符号，以这三种符号为底数，逢三进一，形成三进制体系，即一玄、三方、九州、二十七部、八十一家、七百二十九贊。

易与太玄大抵道同而法异，易画有二，曰阴曰阳；玄画有三，曰一曰二曰三。易有六位，玄有四重。最上曰方，次曰州，次曰部，次曰家。本传所谓"三摹而四分之，极于八十一"者也。易以八卦相重为六十四卦，玄以一二三错于方、州、部、家为八十一首。凡每家首輒变，三首而复初，如中、周、礥之类是也。部三首一变，九首而复初，如中、闲、上之类是也。州九首一变，二十七首而复初，如中、羡、从之类是也。方二十七首一变，八十一首而复初，如中、更、减之类是也。八十一首以上不可复加。故曰"自然之道也"。易每卦有六爻，合为三百八十四爻，玄每首九赞，合为七百二十九赞。图曰："玄有二道，一以三起，一以三生。以三起者，方、州、部、家也。以三生者，三分阳气以为三重，极为九营，是为同本离生，天地之经也"本传曰："雄覃思浑天，三摹而四分之，极于八十一"者谓玄首也。又曰："旁则三摹九据，极于七百二九赞"者谓玄赞也。首犹卦也，赞犹爻也。又曰："观易者见其卦而名之，观玄者数其画而定之玄首四重者，非卦也，数也。[6]

太玄三角图：一玄分而为三，曰一方、二方、三方，也称天玄、地玄、人玄；三方又各分为三，合为九州，每州又各分为三，合为二十七部，每部又各分为三，合为八十一家。于是一玄、三方、九州、二十七部、八十一家及其描述的八十一首七百二十九赞。即所谓“一玄都复三方，方同九州，技载庶部，分正群家，盖极一为三，极三为九，极九为二十七，极二十七为八十一也”。太玄方图：太玄八十一首也可横竖每按九州顺序相交而得，是九州相乘的矩阵。玄用三，三其三以为九，三其九以为二十七，三其二十七以为八十一也。玄凡四重之，其位四。玄画则自上而下，自内而外，以天玄=一方一州、=一方州、二一方三州，地玄二二方一州、二二方二州、--二方三州、人玄┄三方一州、┄三方二州、┄三方三州，九首三部三家而互重之，故其究为八十一首。太玄圆图：玄以一（─）、二（--）、三（┄）错于方州部家为八十一首，最上画为天玄一方（─），共27个；地玄二方（--），共27个；人玄三方（┄），都是按照一（─）、二（--）、三（┄）分布。接着第二画分别为天玄一州（─），共9个；天玄二州（--），共0个，天玄三州（┄），共9个，同理也可画出相应的地玄和人玄，也都是按─、--、┄规律分布。再接着画第三画，即天玄一部（─）共3个，天玄二部（--）共3个，天玄三部（┄）共三个，按此规律分别画至81首，最下一画则为一家（─）、二家（--）、三家（┄），分别重复画至81首，构成一玄三方州二十七部八十一家[7]。

易与玄两者之间究竟有何内在关联？现代的理解要从两种数学等式谈起，即0＝(+1)+(-1)和1+2＝3，这说明太极具有生两翼和阴阳比参。两种等式中包含数字0、1、(+1)、(-1)、2、3六个。根据0＝±1和3＝2＋1，可以构建一个数码的“有”与“无”的模型结构。“0”为起始数，“无”的象征；“3”为实数中“1”、“2”的和数，“有”的标志；“1”为和数3所分出的小实数，在“有”中为“小有”；“2”为和数3所分出的大实数，在“有”中为“大有”。这就呈现出一组由二值和三值排列组合的宇宙密码[8]。

五、结束语

通过对莱布尼茨与塞扎尔•卡兹先生有关讨论信件的查阅，了解到莱布尼茨还接触到三进制。就现有的文献通信中并没有找到莱布尼茨对卡兹先生的三进制图表直接回应的记载，但这一通信可以呈现出在十七世纪，欧洲人已经对二进制和三进制，也就是“易图”和“玄图”有所充分地认识[注5]。

西汉杨雄曾拟易作玄，一玄、三方、九州、二十七部、八十一家、七百二十九贊。这一体系对北宋邵雍（1011-1077）的数学以及伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图思想深深影响和启发。然而，这里人们却看到的是近代欧洲卡兹先生深受邵雍的伏羲二值卦图的影响而作三值卦图，并展示给莱布尼茨，耐人寻味。

[文章注释]：
[注1]许德（Johannes Hudde 1629-1695）為荷兰数学家和政治家。提倡笛卡儿几何学和哲学 。对方程论有供献。出身於贵族家庭，1672－1703担任阿姆斯特丹市长 。在《关於方程式的简化》(1713)中，他最先提出在代数中用字母同样地表示正数和负数(在这之前只用於表示正数)。1657~1658年的两项发现被称為许德法则，它们明确表明了微积分的算法(一种解某种类型问题的特殊方法)。他还预见到 ln(1+X) 的幂级数的展开(1656)和空间座标的使用(1657)。

[注2]白晋於1701年11月4日致函莱布尼茨，指出二进制与八卦图雷同，并附上伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图。一年后由于莱布尼茨没有回函，又于1702年11月8日再函莱布尼茨。据莱布尼茨说，他于1703年4月1日才收到白晋1701年的回信。
[注3]Journal des scavans，5.Dez.1689,S.475-478。
[注4]俄罗斯算盘，单纯采用十进制，与中国算盘相比，没有中间的横梁，每档有十颗算珠，每个算珠表示一个单位。俄罗斯算盘拨珠速度没有中国算盘快，计算速度较慢，实用性较小，但它比较直观，没有专门口诀，容易上手。现在，俄罗斯算盘常用作儿童算术启蒙教育的教具。

[注5]莱布尼茨不仅仅对二进制和三进制，同样对四进制也都了解。四进制由德国数学家魏格尔(Erhard Weigel,1625-1699)按照毕达哥拉斯的方法，把十进制缩小到四进制。魏格尔用四进制即0、1、2、3，写出一切数。魏格尔为莱布尼茨老师。

[文献参考]：
[1]Nicolaes Witsen – Wikipedia[J/OL]，2007-11-28
[2]A.J. Veenendaal jr. De briefwisseling van Anthonie Heinsius 1702-1720[M]，R.G.Publicatiën, S-Gravenhage, 2001
[3]Mario Biagioli，Early Instruments Patents Database 1500-1800[M]，2007
[4]邵雍，皇极经世书•观物外篇[C]，四部备要，中华书局，1966
[5]杨雄，太玄经•玄首[C]，四部备要，中华书局，1966
[6]司马光，太玄集注•说玄[C]，四部备要，中华书局，1966
[7]司徒戎生，太玄经与三进制[J/OL]，第十一届易与现代化国际研讨会，2000
[8]胡阳、李长铎，自然界的数字--太极中的两种数字组合[J/OL]，理学网，1998-2-10